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1.3 Generalized Coordinates

SICM

一般座標。

自由度がnの系のconfigurationは、n個(以上)の変数で記述できる。簡単のためにしばらくは、常にピタリn個で記述する場合のみを考える。その方が変数間の制約などを考えなくていいので楽。

変数は、「各粒子のxyz座標」のようなお決まりの取り方じゃなくて、システムを記述できるような変数ならどうとっても自由。そういうように自由にとった座標系を一般座標という。いろいろ記号を導入。

  • \chi^i : configuration->第i座標
  • \chi(m) = (\chi^0(m), \chi^1(m), \dots, \chi^{n-1}(m))
  • q^i = \chi^i \circ \gamma : time->第i座標
  • q = \chi \circ \gamma
  • local tuple からその一般座標表示を返す関数 "chart"_\chi。TeXでどう出すのかわからない。。。
  • \Gamma(q) は T(\gamma) の座標表示版。時間tを受け取るとlocal tupleの座標表示を返す。
  • L_\chi : (real, real^n, real^n, ...) -> real はラグランジアン L の座標表示版

まとめると、path-distinguishing function を一般座標表示すると
S_\chi(q)(t_1,t_2) = \int_{t_1}^{t_2}L_\chi\circ\Gamma(q)
こうなるわけです。

練習問題1.3

1.2のシステムに一般座標を与えてみよう。

1.2のとこで書いたパラメタを座標にすればよさそう。